UNIT 01機械設計 FIG.00 · EYECATCH

負荷慣性をモーター軸へ換算する｜減速比の二乗・等価慣性・慣性比

負荷慣性をモーター軸へ換算する方法を、減速比の二乗、速度比、直線移動質量、慣性比から解説。計算例とPythonコードで複数軸の等価慣性を整理し、モーター選定時の二重換算や効率混同を防ぎます。

DOC NO.EKP-01-1152

DATE2026-10-22

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負荷慣性はモーター軸から見た値へそろえる

モーター選定では、必要トルクだけでなく負荷慣性モーメントも確認します。慣性が大きい機構は加速・減速に時間がかかり、指令への追従、停止時の振動、整定時間に影響するためです。

ただし、ローラー、テーブル、歯車、カップリング、モーターローターの慣性を、そのまま足すことはできません。各部品は異なる回転数で動くため、すべてを同じ軸へ換算してから合計する必要があります。

実務では、モーター軸へ換算した負荷慣性を求め、モーターローター慣性との比を計算します。減速機がある場合、負荷側の慣性は減速比の二乗で小さく見えることが重要です。

慣性モーメントとは何か

直線運動で質量 $m$ が速度変化に抵抗するように、回転運動では慣性モーメント $J$ が角速度変化に抵抗します。角加速度を $\alpha$、慣性トルクを $T_J$ とすると、基本式は次のとおりです。

$$ T_J=J\alpha $$

$J$ のSI単位は $\mathrm{kg\cdot m^2}$、$\alpha$ は $\mathrm{rad/s^2}$、$T_J$ は $\mathrm{N\cdot m}$ です。

代表的な形状の重心軸まわりの慣性モーメントは次のようになります。

形状	慣性モーメント
中実円柱・円板	J = m r² / 2
薄肉円筒・リング	J = m r²
直線移動質量のプーリー軸換算	J = m r²

ここで $r$ は回転半径またはプーリーのピッチ円半径です。ベルト駆動では外径ではなく、ベルトが運動を伝えるピッチ円半径を使います。

減速比の二乗で換算される理由

本記事では減速比を次のように定義します。

$$ i=\frac{\omega_m}{\omega_L} $$

$\omega_m$ はモーター角速度、$\omega_L$ は負荷側角速度です。減速機でモーターが負荷の5倍の速さで回るなら $i=5$ です。

負荷側の慣性モーメントを $J_L$ とすると、負荷が持つ回転運動エネルギーは、

$$ E_L=\frac{1}{2}J_L\omega_L^2 $$

です。このエネルギーと等価になるモーター軸換算慣性を $J_{Lm}$ とすると、

$$ \frac{1}{2}J_{Lm}\omega_m^2=\frac{1}{2}J_L\omega_L^2 $$

となります。$\omega_L=\omega_m/i$ を代入すれば、

$$ J_{Lm}=\frac{J_L}{i^2} $$

です。

つまり減速比5では負荷側慣性がモーター軸から見て25分の1、減速比10では100分の1になります。減速機が大きな慣性負荷の駆動に有効なのは、トルクを増幅するだけでなく、モーター軸から見た負荷慣性も小さくするためです。

複数軸を一般式で換算する

機構内の各回転体について、慣性モーメントを $J_k$、その軸の角速度を $\omega_k$ とします。モーター軸へ換算した慣性は、

$$ J_{ref,k}=J_k\left(\frac{\omega_k}{\omega_m}\right)^2 $$

です。すべての回転体を合計すると、

$$ J_{ref}=\sum_k J_k\left(\frac{\omega_k}{\omega_m}\right)^2 $$

となります。

この式なら、単段減速機だけでなく、複数段歯車、ベルト比、チェーン比が混在する機構にも使えます。重要なのは、各部品がモーターの何倍または何分の1の角速度で回るかを明確にすることです。

直線移動質量を回転慣性へ置き換える

ベルトやラックで質量 $m$ を直線移動させ、負荷側プーリーまたはピニオンの有効半径を $r$ とします。直線速度と角速度の関係は、

$$ v=r\omega_L $$

です。直線運動エネルギーと回転運動エネルギーを等しく置くと、

$$ \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}J_{linear}\omega_L^2 $$

なので、

$$ J_{linear}=mr^2 $$

となります。さらに減速比 $i$ を介してモーター軸へ換算すると、

$$ J_{linear,m}=\frac{mr^2}{i^2} $$

です。

ボールねじでは、1回転当たりの移動量であるリードを $p$ とすると、直線移動質量のねじ軸換算慣性は、

$$ J_{linear}=m\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2 $$

です。ねじ軸とモーターの間に減速比がある場合は、さらに $i^2$ で割ります。

計算例：ベルト駆動テーブルの等価慣性

次の条件で計算します。数値は換算手順を示すための例です。実機では各部品の仕様値を使用してください。

項目	記号	値
移動質量	m	80 kg
負荷側プーリーのピッチ円半径	r	0.050 m
負荷側回転体の慣性	J_out	0.012 kg·m²
減速比	i	5
モーター側歯車・カップリング慣性	J_in	0.00035 kg·m²
モーターローター慣性	J_M	0.00025 kg·m²

まず、移動質量を負荷側プーリー軸の慣性へ換算します。

$$ J_{linear}=mr^2=80\times0.050^2=0.200\ \mathrm{kg\cdot m^2} $$

負荷側回転体を加えた負荷側合計慣性は、

$$ J_{L,out}=0.200+0.012=0.212\ \mathrm{kg\cdot m^2} $$

です。これをモーター軸へ換算します。

$$ J_{L,m}=\frac{0.212}{5^2}=0.00848\ \mathrm{kg\cdot m^2} $$

モーターと同じ速度で回る歯車・カップリングの慣性は、減速比で割らずに加えます。

$$ J_{ref}=0.00848+0.00035=0.00883\ \mathrm{kg\cdot m^2} $$

モーター軸換算負荷慣性は0.00883 kg·m²です。

慣性比を計算する

慣性比は、モーター軸換算負荷慣性をモーターローター慣性で割った値です。

$$ R_J=\frac{J_{ref}}{J_M} $$

例の条件では、

$$ R_J=\frac{0.00883}{0.00025}=35.32 $$

となります。

この35.32という値だけで適否は判断できません。許容慣性比は、サーボモーター、ステッピングモーター、ブラシレスモーターなどの方式、ドライバの制御能力、オートチューニング、機械剛性、運転パターンによって異なります。メーカーが対象シリーズに示す許容慣性比または許容負荷慣性と照合します。

また、慣性比を満たしていても、必要回転数、最大トルク、実効トルク、回生エネルギーの確認は別に必要です。

加速トルクとの関係

モーター自身の慣性を含む理想的な総慣性は、

$$ J_{total}=J_M+J_{ref} $$

です。モーター角加速度を $\alpha_m$ とすると、理想的な加速トルクは、

$$ T_A=J_{total}\alpha_m $$

で求められます。

ただし、実際の減速機には損失があります。慣性比を計算するときは、運動エネルギーに基づく軸換算として効率を混ぜません。一方、モーター必要トルクを求めるときは、負荷側の加速トルクや外力トルクをモーター軸へ換算する過程で伝達効率を考慮します。

「等価慣性の換算」と「損失を含む必要トルク計算」を同じ式に押し込まず、計算目的を分けると二重補正を防げます。

Pythonで軸換算を自動化する

各回転体について、慣性モーメントとモーターに対する速度比を登録すれば、複数段機構も同じ関数で計算できます。

from dataclasses import dataclass


@dataclass(frozen=True)
class RotatingPart:
    name: str
    inertia_kg_m2: float
    speed_ratio_to_motor: float


def reflected_inertia(parts: list[RotatingPart]) -> dict[str, float]:
    result: dict[str, float] = {}

    for part in parts:
        if part.inertia_kg_m2 < 0:
            raise ValueError(f"{part.name}: inertia must be non-negative")
        if part.speed_ratio_to_motor < 0:
            raise ValueError(f"{part.name}: speed ratio must be non-negative")

        result[part.name] = (
            part.inertia_kg_m2 * part.speed_ratio_to_motor**2
        )

    result["total_reflected_load"] = sum(result.values())
    return result


moving_mass_kg = 80.0
pitch_radius_m = 0.050
gear_ratio = 5.0

linear_inertia_at_output = moving_mass_kg * pitch_radius_m**2

parts = [
    RotatingPart(
        name="linear_mass",
        inertia_kg_m2=linear_inertia_at_output,
        speed_ratio_to_motor=1 / gear_ratio,
    ),
    RotatingPart(
        name="output_rotating_parts",
        inertia_kg_m2=0.012,
        speed_ratio_to_motor=1 / gear_ratio,
    ),
    RotatingPart(
        name="input_gear_and_coupling",
        inertia_kg_m2=0.00035,
        speed_ratio_to_motor=1.0,
    ),
]

result = reflected_inertia(parts)
motor_rotor_inertia = 0.00025
inertia_ratio = result["total_reflected_load"] / motor_rotor_inertia

for name, value in result.items():
    print(f"{name}: {value:.8f} kg m^2")
print(f"inertia_ratio: {inertia_ratio:.2f}")

主な結果は次のとおりです。

linear_mass: 0.00800000 kg m^2
output_rotating_parts: 0.00048000 kg m^2
input_gear_and_coupling: 0.00035000 kg m^2
total_reflected_load: 0.00883000 kg m^2
inertia_ratio: 35.32

speed_ratio_to_motorには「その部品の角速度 ÷ モーター角速度」を入れます。減速比5の出力軸なら 1 / 5、モーターと同速なら1.0です。この定義を固定すると、減速比を掛けるか割るかの混乱を防げます。