作動油の圧縮量を計算する｜体積弾性率・油圧ばね剛性・シリンダ変位

2026-10-06

油圧回路では、作動油を「非圧縮性流体」として扱うことがよくあります。流量からシリンダ速度を求める定常計算では、この近似で十分な場合があります。

しかし、バルブを閉じた後の位置ずれ、加圧開始時の遅れ、荷重変化によるピストン変位、圧力振動を検討する場合、作動油の圧縮性を無視できません。配管やホースに閉じ込められた油は、機械ばねのようにエネルギーを蓄えます。

この記事では、体積弾性率から作動油の圧縮量を求め、シリンダ変位と油圧ばね剛性へ変換する方法を整理します。計算対象は微小な圧力・体積変化とし、温度、漏れ、摩擦、構造変形などは別要素として扱います。

作動油は完全な非圧縮ではない

油圧機器の基本計算では、押し込んだ油量とアクチュエータの移動量が直ちに対応すると考えます。

一方、実際の加圧過程では、ポンプから送られた流量の一部が次の変化に使われます。

作動油そのものの圧縮
混入・溶解している空気の圧縮
ホースや配管の膨張
シリンダチューブや機器ハウジングの弾性変形
シールや接続部の変形

そのため、閉じ込め容積が大きい回路や剛性を重視するサーボ系では、「油だけ」の物性値ではなく、回路全体としての有効体積弾性率を使う必要があります。

Bosch Rexrothの油圧基礎資料でも、油圧流体は圧縮されにくいものの圧縮性を持ち、圧力変化に伴う体積変化を体積弾性率で扱うことが示されています。

体積弾性率の意味

体積弾性率 $K$ は、圧力変化に対する体積ひずみの小ささを表す量です。微分形では次のように定義されます。\[ K=-V\frac{dp}{dV} \]

ここで、

$K$：体積弾性率 [Pa]
$V$：対象流体の体積 [m³]
$p$：圧力 [Pa]

です。

圧力が上がると体積は減るため、$dp$ と $dV$ の符号は逆になります。圧縮量の大きさだけを扱う場合は、微小変化に対して次の近似を使えます。\[ \frac{\Delta V}{V}\approx\frac{\Delta p}{K} \]

したがって、圧縮による体積減少量は次式です。\[ \Delta V\approx\frac{V\Delta p}{K} \]

$K$ が大きいほど圧縮されにくく、同じ圧力上昇でも $\Delta V$ は小さくなります。

この式は、対象範囲で体積弾性率を一定とみなす線形近似です。体積弾性率は圧力、温度、油種、空気量などで変化するため、広い圧力範囲を精密に扱う場合は、メーカー資料や試験データに基づく圧力依存モデルを使用します。

圧縮量の計算例

閉止された配管とシリンダ室に、合計2.0 Lの作動油が封じ込められているとします。圧力上昇は15 MPa、有効体積弾性率は計算例として1.4 GPaと仮定します。

項目	計算条件
閉じ込め容積	2.0 L
圧力上昇	15 MPa
有効体積弾性率	1.4 GPa

SI単位へ変換すると、\[ V=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3} \]\[ \Delta p=15\times10^6\ \mathrm{Pa} \]\[ K=1.4\times10^9\ \mathrm{Pa} \]

です。圧縮量は、\[ \Delta V=\frac{2.0\times10^{-3}\times15\times10^6}{1.4\times10^9} \]\[ \Delta V\approx2.14\times10^{-5}\ \mathrm{m^3} \]

となります。1 m³は1000 Lなので、圧縮量は約21.4 mLです。

この値は小さく見えますが、精密位置決めを行うシリンダでは数mmの変位に相当することがあります。また、バルブを閉じても蓄えられた弾性エネルギーが消えるわけではありません。配管を外す前の除圧や保守手順では、この点を安全上の前提にします。

圧縮量をシリンダ変位へ換算する

シリンダ室の有効受圧面積を $A$、ピストン変位を $x$ とすると、ピストン移動による容積変化は次式です。\[ \Delta V=Ax \]

したがって、圧縮量に相当するピストン変位は、\[ x=\frac{\Delta V}{A} \]

です。

シリンダ内径を $D$ とすると、キャップ側の受圧面積は、\[ A=\frac{\pi D^2}{4} \]

で求められます。

内径80 mmの場合、\[ A=\frac{\pi\times0.080^2}{4}\approx5.027\times10^{-3}\ \mathrm{m^2} \]

です。先ほどの圧縮量を使うと、\[ x=\frac{2.14\times10^{-5}}{5.027\times10^{-3}}\approx4.26\times10^{-3}\ \mathrm{m} \]

したがって、相当変位は約4.26 mmです。

これは「必ずピストンが4.26 mm動く」という意味ではありません。実際の変位は、外部荷重、反対側圧力、機械構造の剛性、シール摩擦、弁の漏れなどとの釣り合いで決まります。ここでは、圧縮された油量を同じ受圧面積の幾何学的変位へ換算しています。

油圧ばね剛性を求める

閉じ込めた作動油は、変位に応じて圧力と反力が変わるため、ばねとして表現できます。

微小なピストン変位 $x$ による体積変化は $Ax$ です。体積弾性率の関係から、圧力変化は次のようになります。\[ \Delta p\approx K\frac{Ax}{V} \]

圧力変化による力の変化は、\[ \Delta F=A\Delta p \]

なので、\[ \Delta F\approx\frac{KA^2}{V}x \]

となります。ばね剛性を $k_h=\Delta F/x$ と定義すると、単一の閉じ込め室の油圧ばね剛性は次式です。\[ k_h=\frac{KA^2}{V} \]

ここで、$k_h$ の単位はN/mです。

先ほどの条件を代入すると、\[ k_h=\frac{1.4\times10^9\times(5.027\times10^{-3})^2}{2.0\times10^{-3}} \]\[ k_h\approx1.77\times10^7\ \mathrm{N/m} \]

したがって、油圧ばね剛性は約17.7 kN/mmです。

式から分かる重要な関係は次のとおりです。

有効体積弾性率が高いほど剛性は高い
受圧面積が大きいほど、面積の二乗に比例して剛性は高い
閉じ込め容積が大きいほど剛性は低い

アクチュエータ近くへ制御弁を配置し、不要な配管容積を減らすことが応答性や位置剛性の改善につながるのは、この関係からも説明できます。

両室が閉じられた複動シリンダ

複動シリンダの両ポートを閉じた状態では、ピストンが動くと一方の室が圧縮され、他方の室が膨張します。漏れがなく、両室が加圧状態を保ち、微小変位として扱える場合、両室の剛性が加算されます。\[ k_{h,total}=K_c\frac{A_c^2}{V_c}+K_r\frac{A_r^2}{V_r} \]

ここで、

$A_c$：キャップ側受圧面積
$A_r$：ロッド側環状面積
$V_c$：キャップ側の有効閉じ込め容積
$V_r$：ロッド側の有効閉じ込め容積
$K_c$、$K_r$：各側の有効体積弾性率

です。

ロッド側面積は、シリンダ内径を $D$、ロッド径を $d$ とすると、\[ A_r=\frac{\pi(D^2-d^2)}{4} \]

です。

有効容積にはシリンダ室だけでなく、ポートから閉止弁までの配管、ホース、マニホールド内部の容積も含めます。弁位置を無視してシリンダ室だけを使うと、剛性を過大評価する可能性があります。

また、片側がタンクへ開放される回路、チェック弁が開く条件、キャビテーションが生じる条件では、単純な二室加算式をそのまま使用できません。

有効体積弾性率を使う理由

作動油単体の体積弾性率と、装置で観測される有効体積弾性率は同じとは限りません。

実機では、次の要因が系のコンプライアンスを増やします。

遊離空気や微細気泡
圧力変化に伴う溶解空気の挙動
ゴムホースの膨張
長い配管や大きな内部容積
シリンダチューブ、マニホールド、継手の弾性変形
温度による油物性と構造寸法の変化

特に空気は油より圧縮されやすいため、少量の混入でも応答遅れや剛性低下の原因になります。エア抜き不足を、油の物性値だけで補正することはできません。

設計では、目的に応じて値を使い分けます。

目的	使用する値
油種同士の物性比較	油メーカーの体積弾性率
回路の応答・剛性予測	ホースや構造を含む有効体積弾性率
既設装置の異常診断	圧力・変位の実測から同定した値
高精度シミュレーション	圧力・温度依存性を含む実測モデル

根拠のない代表値を固定して最終設計へ使うのではなく、対象油のデータシート、機器メーカーのモデル、または装置試験から値を決めます。

圧力と変位から有効体積弾性率を同定する

閉じ込め容積と受圧面積が分かり、圧力変化と微小変位を測定できる場合は、有効体積弾性率を逆算できます。

単一室モデルでは、\[ \Delta p\approx K_e\frac{Ax}{V} \]

なので、\[ K_e\approx\frac{V\Delta p}{Ax} \]

です。

ただし、測定値にはシール摩擦、外部構造のたわみ、温度変化、圧力センサーと変位計の誤差、内部漏れが含まれます。低速での準静的試験と動的加振試験では得られる見かけの値が異なる可能性もあります。

同定条件として、少なくとも次を記録します。

初期圧力と圧力変化範囲
油温と周囲温度
シリンダ位置
閉止した弁の位置
対象となる配管・ホース容積
荷重条件と保持時間
圧力・変位のサンプリング周期

Pythonで圧縮量と剛性を計算する

圧縮量、相当ピストン変位、単一室の油圧ばね剛性を計算する関数は次のように実装できます。

from dataclasses import dataclass
from math import pi


@dataclass(frozen=True)
class HydraulicComplianceResult:
    compression_ml: float
    piston_displacement_mm: float
    hydraulic_stiffness_kn_per_mm: float


def hydraulic_compliance(
    volume_l: float,
    pressure_rise_mpa: float,
    bulk_modulus_gpa: float,
    bore_mm: float,
) -> HydraulicComplianceResult:
    if volume_l <= 0:
        raise ValueError("volume_l must be > 0")
    if pressure_rise_mpa < 0:
        raise ValueError("pressure_rise_mpa must be >= 0")
    if bulk_modulus_gpa <= 0:
        raise ValueError("bulk_modulus_gpa must be > 0")
    if bore_mm <= 0:
        raise ValueError("bore_mm must be > 0")

    volume_m3 = volume_l * 1e-3
    pressure_rise_pa = pressure_rise_mpa * 1e6
    bulk_modulus_pa = bulk_modulus_gpa * 1e9
    bore_m = bore_mm * 1e-3

    area_m2 = pi * bore_m**2 / 4
    compression_m3 = (
        volume_m3 * pressure_rise_pa / bulk_modulus_pa
    )
    displacement_m = compression_m3 / area_m2
    stiffness_n_per_m = (
        bulk_modulus_pa * area_m2**2 / volume_m3
    )

    return HydraulicComplianceResult(
        compression_ml=compression_m3 * 1e6,
        piston_displacement_mm=displacement_m * 1e3,
        hydraulic_stiffness_kn_per_mm=(
            stiffness_n_per_m / 1e6
        ),
    )


result = hydraulic_compliance(
    volume_l=2.0,
    pressure_rise_mpa=15.0,
    bulk_modulus_gpa=1.4,
    bore_mm=80.0,
)

print(result)

出力は次のようになります。

HydraulicComplianceResult(compression_ml=21.428571428571427, piston_displacement_mm=4.263078832818625, hydraulic_stiffness_kn_per_mm=17.686331086752126)

このコードのbulk_modulus_gpaには、回路評価の目的に合った有効体積弾性率を入力します。油単体のカタログ値を入れただけでは、ホースや混入空気を含む実機挙動を再現できません。

シミュレーションと設計データへの展開

油圧ばね剛性をモデル化すると、単なる定常計算から動的な検討へ進めます。

たとえば、機械側の等価質量を $m$、油圧剛性を $k_h$ とする単純な1自由度モデルでは、減衰を無視した固有角振動数は次式です。\[ \omega_n=\sqrt{\frac{k_h}{m}} \]

固有振動数は、\[ f_n=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_h}{m}} \]

です。

ただし、実際の油圧系には弁の流量特性、漏れ、摩擦、配管の分布定数、負荷剛性、制御器が含まれます。この式は見通しを得るための最小モデルであり、制御帯域や安定性を確定する式ではありません。

計算ロジックを再利用する場合は、次の入力を構造化して保存します。

{
  "chamber": {
    "volume_l": 2.0,
    "effective_area_mm2": 5026.55
  },
  "operating_condition": {
    "initial_pressure_mpa": 0.0,
    "pressure_rise_mpa": 15.0,
    "oil_temperature_c": 40.0
  },
  "model": {
    "effective_bulk_modulus_gpa": 1.4,
    "source": "example assumption",
    "linearized": true
  }
}

値だけでなく、物性値の出典、温度、圧力範囲、線形化の有無を残すと、計算結果を後から検証できます。