歯車は回転運動とトルクを、所定の速度比で別の軸へ伝える機械要素です。
歯車対の設計では、歯数比が合っているだけでは十分ではありません。歯の幾何学、歯元曲げ疲労、歯面接触疲労、精度、バックラッシ、潤滑、軸・軸受の剛性が相互に影響します。
この記事では、最も基本的な外歯・平歯車の一段減速機構を題材に、計算で確定できる項目と、規格・材料データを使わなければ判定できない項目を分離します。
はすば歯車、かさ歯車、ウォーム歯車の詳細計算は扱いません。
歯車形式と適用範囲
| 形式 | 軸の関係 | 特徴と注意点 |
|---|---|---|
| 平歯車 | 平行軸 | 幾何と加工が比較的単純。理想的には歯すじ由来の軸方向力がない |
| はすば歯車 | 平行軸 | かみ合いが連続的になりやすい一方、軸方向力が生じる |
| かさ歯車 | 交差軸 | 軸方向を変えられる。組立位置・当たり管理が重要 |
| ウォーム歯車 | 主に食違い軸 | 大きな減速比を得やすいが、滑り損失と発熱に注意 |
| ラック・ピニオン | 回転―直線 | 回転を直線変位へ変換。送り精度とバックラッシが重要 |
以下の基本式は、特記がない限り平行軸、外歯、標準的なインボリュート平歯車、転位なしを前提とします。
インボリュート歯形と設計変数
インボリュート歯形の重要な特徴は、正しくかみ合う歯車対において一定の角速度比を保ちやすいことです。
ただし、中心距離のずれに対して無制限に許容性があるわけではありません。作動圧力角、バックラッシ、かみ合い率、歯当たりは変化します。
| 記号 | 意味 | 単位 |
|---|---|---|
| m | モジュール | mm |
| z1、z2 | 小歯車・大歯車の歯数 | ― |
| d1、d2 | 基準円直径 | mm |
| a | 標準中心距離 | mm |
| α | 基準圧力角 | ° |
| b | 歯幅 | mm |
| n1、n2 | 回転速度 | min⁻¹ |
| T1、T2 | 軸トルク | N·m |
| Ft、Fr | 接線力・半径方向力 | N |
| P | 伝達動力 | kW |
| u | 歯数比（大歯車／小歯車） | ― |
モジュールは歯の大きさを規定する
平歯車の基準円直径は、\[ d=mz \]
です。
モジュールが同じなら、歯数が多いほど基準円直径は大きくなります。
ただし、同じモジュールの歯車対でも、圧力角・歯形基準・歯すじ・転位などが適合しなければ、正しくかみ合うとは限りません。
標準モジュールの選定にはISO 54:1996やJIS B 1701-2:2017を参照します。はすば歯車では歯直角モジュールと正面モジュールを区別する必要があります。ISO 54:1996は2022年に再確認され、現行版として掲載されています。ISO
歯数比・回転速度・中心距離
外歯車対の回転方向は逆になります。
速度の大きさについて、\[ u=\frac{z_2}{z_1}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{d_2}{d_1} \]
です。
転位なし、標準中心距離の平歯車対なら、\[ a=\frac{d_1+d_2}{2}=\frac{m(z_1+z_2)}{2} \]
となります。
転位や非標準の運転中心距離を採用する場合は、この単純な標準中心距離をそのまま最終組立寸法にしてはいけません。
歯先円と歯元円
標準並歯で、歯末のたけをm、歯元のたけを1.25mとする典型的な基本ラック条件なら、\[ d_a=m(z+2) \]\[ d_f=m(z-2.5) \]
と表せます。
ただし、これらはすべての歯車に通用する普遍式ではありません。
転位、歯先修整、工具仕様、歯底すみ肉、内歯車では別途検討します。
伝達トルクから歯面荷重を求める
動力とトルク
入力軸に作用する機械的伝達動力をP（kW）、回転速度をn（min⁻¹）とすると、\[ T=\frac{9550P}{n} \]
でトルクT（N·m）を概算できます。
係数9550は角速度換算による丸め値です。
接線力と半径方向力
基準円上でトルクを伝える接線力は、dをmm、TをN·mとして、\[ F_t=\frac{2000T}{d} \]
です。
単位は、N·mをN·mmへ変換した上でmmで割るためNになります。
平歯車の基準圧力角をαとし、標準中心距離でかみ合う場合、半径方向力は、\[ F_r=F_t\tan\alpha \]
です。
歯車軸に作用する荷重の向きは回転方向と駆動・被動関係で変わります。
軸受反力を計算する際は、力の大きさだけでなく向きと作用位置を持たせます。
非標準中心距離では作動圧力角を使います。
計算例：3 kWを2:1に減速する平歯車対
入力条件
| 項目 | 設計条件 |
|---|---|
| 入力軸の機械的伝達動力 | 3.0 kW |
| 小歯車回転速度 | 600 min⁻¹ |
| 小歯車歯数 z1 | 20 |
| 大歯車歯数 z2 | 40 |
| 仮モジュール m | 3 mm |
| 圧力角 α | 20° |
| 仮歯幅 b | 30 mm |
| 転位 | なし |
| 歯形 | 標準並歯の外歯平歯車 |
ここでm=3 mm、b=30 mmは幾何・荷重計算のための仮選定値であり、強度を保証する値ではありません。
1．減速比と回転数
\[ u=\frac{40}{20}=2 \]\[ n_2=\frac{600}{2}=300\ \mathrm{min^{-1}} \]
出力軸の理想回転速度は300 min⁻¹です。
2．基準円直径と中心距離
\[ d_1=3\times20=60\ \mathrm{mm} \]\[ d_2=3\times40=120\ \mathrm{mm} \]\[ a=\frac{60+120}{2}=90\ \mathrm{mm} \]
標準中心距離は90 mmです。
この値をハウジングの軸間設計の出発点とします。
3．入力トルクと接線力
\[ T_1=\frac{9550\times3.0}{600}=47.75\ \mathrm{N\cdot m} \]\[ F_t=\frac{2000\times47.75}{60}=1591.7\ \mathrm{N} \]
かみ合い接線力は約1.59 kNです。
この力が歯の曲げ・歯面接触、軸の曲げ、軸受反力を検討する基礎になります。
4．半径方向力と周速度
\[ F_r=1591.7\tan20^\circ\approx579.3\ \mathrm{N} \]\[ v=\frac{\pi\times0.060\times600}{60}\approx1.885\ \mathrm{m/s} \]
半径方向力は約0.58 kN、ピッチ円周速度は約1.89 m/sです。
理想的な損失ゼロの条件なら大歯車トルクは約95.5 N·mですが、実際の出力トルクは伝達効率に依存します。
5．歯元強度の一次スクリーニング
歯元曲げ応力は概念的に、\[ \sigma_F\propto\frac{F_t}{bm} \]
と整理できます。
比例係数には歯形・歯元応力集中・動荷重・荷重分布などが含まれます。
ここで、\[ \frac{F_t}{bm}=\frac{1591.7}{30\times3}\approx17.69\ \mathrm{N/mm^2} \]
です。
17.69 MPaは歯元応力そのものではなく、歯元強度評価の荷重尺度です。
歯形係数、応力集中、動荷重、歯幅方向荷重分布などを考慮しなければ、歯元応力は確定できません。
簡略なルイス式を学習用に使うなら、\[ \sigma_{F,L}\approx\frac{F_t}{bmY_L} \]
です。
仮に歯形係数Y_L=0.32を例示の仮定値とすれば、\[ \sigma_{F,L}\approx\frac{1591.7}{30\times3\times0.32}\approx55.3\ \mathrm{MPa} \]
となります。
しかし、55.3 MPaはISO 6336に基づく歯元強度の合否判定値ではありません。
Y_L=0.32もこの歯車の規格計算で確定した値ではなく、疲労許容応力、荷重係数、寿命係数、安全率は未設定です。
計算結果から何を判断できるか
| 項目 | 計算結果 | 判断 |
|---|---|---|
| 減速比 | 2:1 | 要求速度比との照合が可能 |
| 出力回転数 | 300 min⁻¹ | 理想運動学上の値 |
| 基準円直径 | 60 / 120 mm | 基本幾何が確定 |
| 標準中心距離 | 90 mm | 軸間設計の初期値 |
| 入力トルク | 47.75 N·m | 伝達荷重計算の入力 |
| 接線力 | 1.592 kN | 歯・軸・軸受荷重の基礎 |
| 半径方向力 | 0.579 kN | 軸受反力計算へ引き渡す |
| 周速度 | 1.885 m/s | 潤滑・動荷重評価へ引き渡す |
| 歯元・歯面の安全性 | 未判定 | 材料・寿命・ISO強度計算が必要 |
この段階の設計結論は、**「寸法と名目荷重は計算できたが、強度・寿命・精度の採否は未決定」**です。
ここを混同しないことが重要です。
歯元強度と歯面強度は別の故障を防ぐ
歯元曲げ強度：折損を防ぐ
歯は接線力を受けて曲げられ、歯元すみ肉部に応力が集中します。
繰返し荷重による歯元疲労き裂が進展すると、歯が折損します。
歯元曲げ強度の正式評価にはISO 6336-3:2019を参照します。歯形、歯元応力集中、材料、熱処理、寿命、荷重係数、歯幅方向分布などを評価します。ISO
歯面接触強度：ピッチングを防ぐ
歯面では接触部に高い圧縮応力が発生します。
繰返し接触による表面・表層疲労が進むと、ピッチングなどの損傷が生じます。
歯面耐久性の正式評価にはISO 6336-2:2019を参照します。
接触応力は荷重、歯車径、歯幅、歯形、材料の弾性特性、荷重分布などに依存します。ISO
歯元曲げ強度が成立しても歯面強度が不足することがあり、その逆もあります。
例えば、歯幅を増やすと平均荷重は分散しやすくなりますが、軸・ハウジングのたわみによる片当たりが強ければ期待どおりに負荷能力は増えません。
ISO 6336で判定できない損傷もある
ISO 6336シリーズは歯元曲げ、歯面ピッチング等の負荷容量評価を体系化しますが、あらゆる損傷を保証する規格ではありません。
例えば摩耗、塑性変形、焼付き（スカッフィング）、マイクロピッチング等は対象とする個別規格・手法を確認します。
ISO 6336-1:2019は、ゼロバックラッシや干渉のある歯車、著しく不良な歯当たりなどに適用できない条件も明示しています。ISO
バックラッシは誤差ではなく設計変数
バックラッシは、かみ合う歯面間に意図的に設けるすきまです。
回転方向反転時の遊びとなる一方、熱膨張、加工誤差、組立誤差、潤滑を許容する役割があります。
小さすぎる場合は、熱膨張や軸間誤差で干渉・発熱・焼付きの危険があります。
大きすぎる場合は、反転時の位置ずれ、衝撃、騒音が増加します。
バックラッシは歯厚、中心距離、歯形・ピッチ誤差、軸受すきま、温度などの組合せで決まります。
精度等級を指定しただけでバックラッシが自動的に決まるわけではありません。
歯厚とバックラッシの計算・測定にはISO 21771-2:2025が関連しますが、同規格は使用目的に応じた適正バックラッシ値を自動選定するものではありません。ISO
歯車精度・軸系剛性・騒音を同時に見る
歯車の歯形偏差、歯すじ偏差、ピッチ偏差は伝達誤差や振動に関係します。
ISO 1328-1:2013は円筒インボリュート歯車の歯面偏差に関する公差分類を規定しますが、精度等級だけで完成減速機の騒音値や寿命は決まりません。ISO
歯車対が適切でも、軸が曲がる、軸受が傾く、ハウジングが変形するなどで歯当たりが端部へ偏れば、局部接触応力が上がります。
設計レビューでは、歯車単体だけでなく、軸―軸受―ハウジング―歯車を一つの荷重経路として評価します。
潤滑と熱：歯車を長持ちさせる条件
歯面には転がりと滑りが混在します。
歯面の潤滑膜が不十分なら摩耗、マイクロピッチング、焼付きの危険が増します。
油の粘度、温度、給油方式、異物・水分混入、起動停止頻度を確認します。
油浴潤滑か強制給油かの判断は周速度だけでは決められません。
歯車径、かくはん損失、熱収支、油面、軸受潤滑、シール、保全方式まで検討します。
プラスチック歯車や乾式歯車では材料固有の設計則が必要で、鋼製油潤滑歯車の許容応力を流用できません。
よくある誤設計と故障モード
| 故障・現象 | 代表的な要因 | 優先確認項目 |
|---|---|---|
| 歯元折損 | 過大接線力、衝撃、疲労、歯元応力集中 | ISO 6336-3、荷重履歴、歯形 |
| ピッチング | 歯面接触疲労、過大面圧 | ISO 6336-2、硬さ、潤滑 |
| スカッフィング | 油膜破断、高温、高滑り | 潤滑・温度・運転条件 |
| マイクロピッチング | 薄い油膜、粗さ、局部滑り | 表面粗さ、油膜、材料 |
| 異常摩耗 | 異物、潤滑不良、材質不適合 | シール、清浄度、給油 |
| 片当たり | 軸たわみ、取付誤差、歯すじ不適合 | 軸・軸受・ハウジング剛性 |
| 異音・振動 | 伝達誤差、偏心、バックラッシ、共振 | 歯車精度、支持剛性、固有振動数 |
特に「モジュールを大きくすればすべて解決」「歯車精度を上げれば騒音は必ず下がる」「バックラッシはゼロが理想」は、いずれも成立しない一般化です。
設計手順：仮選定から正式評価まで
- 要求伝達動力、回転速度、速度比、寿命、負荷スペクトルを確定する。
- 歯車形式、歯数、モジュール、圧力角、歯幅を仮選定する。
- 基準円直径、中心距離、回転数、接線力、半径方向力を計算する。
- 干渉、切下げ、かみ合い率、転位、歯先・歯元形状を確認する。
- 軸、キー・スプライン、軸受、ハウジングへ荷重を引き渡す。
- ISO 6336等の適用範囲を確認し、歯元曲げと歯面接触を別々に強度評価する。
- 歯厚、バックラッシ、精度等級、歯当たり、温度変化を評価する。
- 潤滑、熱、騒音、保全、製造・検査方法を確定する。
- 実機試験または妥当性確認を行い、設計値と根拠資料を保存する。
設計チェックリスト
- 動力P、回転数n、トルクTの入力位置と効率を明示したか
- 歯数比、回転方向、標準／運転中心距離を区別したか
- モジュール、圧力角、歯形、転位の整合性を確認したか
- 接線力Ft、半径方向力Fr、必要時の軸方向力Faを求めたか
- 干渉、切下げ、かみ合い率、歯先厚を確認したか
- 歯元曲げ強度と歯面接触強度を独立に評価したか
- 材料、熱処理、硬さ、寿命、荷重係数の出典を記録したか
- 軸・軸受・ハウジングの変形による片当たりを検討したか
- バックラッシの最小・最大条件を温度・公差込みで評価したか
- 歯車精度と実機の振動・騒音要求を分けて評価したか
- 潤滑、熱、異物混入、保全方法を確認したか
- 適用規格の版と適用外条件を記録したか
知識資産化できる項目
歯車設計は、一般式による幾何・荷重計算と、規格・材料・メーカーに依存する強度評価を分けることで再利用しやすくなります。
{
"element_type": "external_spur_gear_pair",
"inputs": {
"power_kw": 3.0,
"pinion_speed_rpm": 600,
"pinion_teeth": 20,
"gear_teeth": 40,
"module_mm": 3.0,
"pressure_angle_deg": 20.0,
"face_width_mm": 30.0,
"profile_shift_1": 0.0,
"profile_shift_2": 0.0
},
"outputs": {
"ratio": 2.0,
"gear_speed_rpm": 300.0,
"center_distance_standard_mm": 90.0,
"pinion_torque_nm": 47.75,
"tangential_force_n": 1591.7,
"radial_force_n": 579.3
},
"validation": {
"geometry": "preliminary",
"tooth_root_strength": "not_evaluated",
"flank_contact_strength": "not_evaluated",
"backlash": "not_evaluated",
"lubrication": "not_evaluated"
},
"standards": [
"ISO 54:1996",
"ISO 21771-1:2024",
"ISO 21771-2:2025",
"ISO 6336-1:2019",
"ISO 6336-2:2019",
"ISO 6336-3:2019",
"ISO 1328-1:2013"
],
"source_revision": "verify_at_design_release"
}自動化では、寸法・荷重計算を決定論的な関数とし、強度・精度・潤滑の判定には規格版、材料データ、荷重スペクトル、許容安全率、検証状況を別入力として要求します。
未入力なら「安全」とせず、not_evaluatedを返す設計にします。
まとめ
歯車の基本幾何は、モジュール、歯数、中心距離から比較的簡単に計算できます。
しかし、歯車が回ること、荷重を伝えられること、要求寿命を満たすことは別の判定です。
最初に速度比と名目荷重を定量化し、歯元曲げ、歯面接触、バックラッシ、精度、潤滑、軸系剛性を順に検証することで、型番選定を再利用可能な設計判断へ変換できます。
参考規格・一次資料（2026年10月9日確認）
| 規格・資料 | 対象 | 確認結果 |
|---|---|---|
| ISO 54:1996 | 円筒歯車の標準モジュール | 現行 |
| JIS B 1701-2:2017 | 円筒歯車のモジュール | 版・規格名称を確認。正式適用時はJSAで再確認 |
| ISO 21771-1:2024 | 円筒インボリュート歯車の幾何 | 現行、改訂案が進行中 |
| ISO 21771-2:2025 | 歯厚・バックラッシ | 現行、改訂作業中 |
| ISO 6336-1:2019 | 負荷容量計算の原則 | 現行 |
| ISO 6336-2:2019 | 歯面ピッチング耐久性 | 現行 |
| ISO 6336-3:2019 | 歯元曲げ強度 | 現行 |
| ISO 1328-1:2013 | 歯面精度公差 | 現行 |
| KHK歯車技術資料 | バックラッシ、歯車設計 | メーカー一次資料 |
メーカー固有の許容トルク、材料強度、バックラッシ、加工精度などは、実際に採用する製品と最新版の技術資料を照合して確定します。
