直列回路と並列回路は、先に合成抵抗を求めると回路全体の電流を出せます。そこから各抵抗へ戻すと、電圧降下と電流分担を順に追えます。
STEP 3 / 16｜機械・油圧技術者が電気回路を計算して読むための基礎
$$R = (V_S – V_F) / I_F$$
\( R, R_1, R_2 \): 抵抗 [Ω]
- 直列は電流の通り道が 1 本なので、全ての抵抗に同じ電流が流れます。
- 並列は電流の分かれ道があるので、各枝に同じ電圧がかかります。
- 合成抵抗を先に求めると、回路全体の電流をオームの法則で出せます。
- 直列では電圧が分かれ、並列では電流が分かれます。
- 直並列回路は、まとまる部分を合成し、あとで元の素子へ戻します。
- 図面では見た目ではなく、接続されている点で直列・並列を判断します。
ここでは抵抗を理想抵抗として扱います。半導体、コイル、コンデンサ、交流での位相は別に分けて扱います。学習全体の位置づけは、機械・油圧技術者が電気回路を計算して読むための基礎に戻ると確認できます。
直列と並列で何が変わるか
直列は、電流の通り道が 1 本だけの接続です。途中に抵抗が何個あっても、流れる電流は同じです。
$$I = I_1 = I_2 = \cdots$$
\( I \): 回路電流 [A]、\( I_1, I_2 \): 各抵抗を流れる電流 [A]
並列は、同じ 2 点間に複数の枝が接続された形です。同じ 2 点につながっているので、各枝にかかる電圧は同じです。
$$V = V_1 = V_2 = \cdots$$
\( V \): 電源または端子間電圧 [V]、\( V_1, V_2 \): 各枝の電圧 [V]
| 接続 | 電流 | 電圧 | 合成抵抗 |
|---|---|---|---|
| 直列 | 全素子で同じ | 抵抗ごとに分かれる | 抵抗値を足す |
| 並列 | 枝ごとに分かれる | 全枝で同じ | 逆数の和で求める |
例として、電流 \( I = 0.20 \; \mathrm{A} \) が流れる直列回路に、\( R_1 = 10 \; \Omega \)、\( R_2 = 15 \; \Omega \)、\( R_3 = 25 \; \Omega \) があるとします。オームの法則より、各電圧降下は次の通りです。
- \( V_1 = 0.20 \; \mathrm{A} \times 10 \; \Omega = 2.00 \; \mathrm{V} \)
- \( V_2 = 0.20 \; \mathrm{A} \times 15 \; \Omega = 3.00 \; \mathrm{V} \)
- \( V_3 = 0.20 \; \mathrm{A} \times 25 \; \Omega = 5.00 \; \mathrm{V} \)
合計は \( 2.00 + 3.00 + 5.00 = 10.0 \; \mathrm{V} \) です。直列では電流が同じなので、抵抗が大きいほど電圧降下も大きくなります。
並列では逆です。電圧 \( V = 24 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 120 \; \Omega \)、\( R_2 = 240 \; \Omega \) なら、各枝電流は次の通りです。
- \( I_1 = 24 \; \mathrm{V} \div 120 \; \Omega = 0.200 \; \mathrm{A} \)
- \( I_2 = 24 \; \mathrm{V} \div 240 \; \Omega = 0.100 \; \mathrm{A} \)
- \( I_{\text{total}} = 0.200 + 0.100 = 0.300 \; \mathrm{A} \)
並列では電圧が同じなので、抵抗が小さい枝ほど電流が多く流れます。だから設計では、どの枝へ電流が集中するかを先に確認します。
直列回路の合成抵抗と電圧分担
直列回路の合成抵抗は、各抵抗の和です。
$$R = R_1 + R_2 + R_3$$
\( R \): 合成抵抗 [Ω]、\( R_1, R_2, R_3 \): 各抵抗 [Ω]
合成抵抗が出れば、回路全体の電流は オームの法則で読む抵抗回路 と同じく、電源電圧を合成抵抗で割って求めます。
$$I = \dfrac{V}{R}$$
\( I \): 回路電流 [A]、\( V \): 電源電圧 [V]、\( R \): 合成抵抗 [Ω]
電源 \( V = 24 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 10 \; \Omega \)、\( R_2 = 15 \; \Omega \)、\( R_3 = 25 \; \Omega \) の直列回路で計算します。
$$R = 10 + 15 + 25 = 50 \; \Omega$$
$$I = \dfrac{24 \; \mathrm{V}}{50 \; \Omega} = 0.480 \; \mathrm{A}$$
各抵抗の電圧降下は、同じ電流に抵抗値を掛けます。
$$V_1 = IR_1,\quad V_2 = IR_2,\quad V_3 = IR_3$$
\( V_1, V_2, V_3 \): 各抵抗の電圧降下 [V]
- \( V_1 = 0.480 \; \mathrm{A} \times 10 \; \Omega = 4.80 \; \mathrm{V} \)
- \( V_2 = 0.480 \; \mathrm{A} \times 15 \; \Omega = 7.20 \; \mathrm{V} \)
- \( V_3 = 0.480 \; \mathrm{A} \times 25 \; \Omega = 12.0 \; \mathrm{V} \)
合計は \( 4.80 + 7.20 + 12.0 = 24.0 \; \mathrm{V} \) です。電源電圧と一致するので、戻し計算も合っています。
別の値で、\( V = 12 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 4.7 \; \Omega \)、\( R_2 = 4.7 \; \Omega \)、\( R_3 = 9.1 \; \Omega \) とします。
- \( R = 4.7 + 4.7 + 9.1 = 18.5 \; \Omega \)
- \( I = 12 \; \mathrm{V} \div 18.5 \; \Omega = 0.6486 \; \mathrm{A} \)
- \( V_1 = 0.6486 \; \mathrm{A} \times 4.7 \; \Omega = 3.049 \; \mathrm{V} \)
- \( V_2 = 0.6486 \; \mathrm{A} \times 4.7 \; \Omega = 3.049 \; \mathrm{V} \)
- \( V_3 = 0.6486 \; \mathrm{A} \times 9.1 \; \Omega = 5.903 \; \mathrm{V} \)
同じ 4.7 Ω には同じ電圧がかかり、約 2 倍の 9.1 Ω には約 2 倍の電圧がかかります。直列では電流が一定なので、電圧降下は抵抗値に比例します。だから設計では、どの素子に何 V かかるかを先に確認します。
24 V 電源で、\( R_1 = 10 \; \Omega \)、\( R_2 = 15 \; \Omega \) を固定し、\( R_3 \) を変えると次のようになります。
| \(R_3\) | 合成抵抗 \(R\) | 電流 \(I\) | \(V_1\) | \(V_2\) | \(V_3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 Ω | 30 Ω | 0.800 A | 8.00 V | 12.0 V | 4.00 V |
| 10 Ω | 35 Ω | 0.6857 A | 6.857 V | 10.29 V | 6.857 V |
| 20 Ω | 45 Ω | 0.5333 A | 5.333 V | 8.00 V | 10.67 V |
| 50 Ω | 75 Ω | 0.3200 A | 3.200 V | 4.800 V | 16.00 V |
\( R_3 \) を大きくすると全体電流は下がりますが、\( R_3 \) 自身の電圧分担は大きくなります。直列の電圧分担は抵抗値の比で決まるためです。
並列回路の合成抵抗と分流
並列回路では、合成抵抗を逆数の和で求めます。
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$$
\( R \): 合成抵抗 [Ω]、\( R_1, R_2 \): 各枝の抵抗 [Ω]
2 本の枝なら、次の形でも同じ結果になります。
$$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
この式は、理想抵抗が同じ 2 点間に並列接続されている場合に使います。枝の途中に電源や半導体がある場合は、そのまま当てはめません。
電源 \( V = 24 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 120 \; \Omega \)、\( R_2 = 240 \; \Omega \) で計算します。
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{120} + \dfrac{1}{240}= 0.008333 + 0.004167 = 0.01250 \; \mathrm{S}$$
\( \mathrm{S} \) はジーメンスで、抵抗の逆数であるコンダクタンスの単位です。
$$R = \dfrac{1}{0.01250 \; \mathrm{S}} = 80.0 \; \Omega$$
枝ごとの電流は、同じ電圧を各抵抗で割ります。
$$I_1 = \dfrac{V}{R_1},\quad I_2 = \dfrac{V}{R_2},\quad I_{\text{total}} = I_1 + I_2$$
\( I_1, I_2 \): 各枝電流 [A]、\( I_{\text{total}} \): 総電流 [A]
- \( I_1 = 24 \; \mathrm{V} \div 120 \; \Omega = 0.200 \; \mathrm{A} \)
- \( I_2 = 24 \; \mathrm{V} \div 240 \; \Omega = 0.100 \; \mathrm{A} \)
- \( I_{\text{total}} = 0.200 + 0.100 = 0.300 \; \mathrm{A} \)
全体でも \( I = 24 \; \mathrm{V} \div 80.0 \; \Omega = 0.300 \; \mathrm{A} \) となり、枝電流の和と一致します。
3 枝でも考え方は同じです。\( V = 12 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 100 \; \Omega \)、\( R_2 = 100 \; \Omega \)、\( R_3 = 300 \; \Omega \) とします。
- \( I_1 = 12 \; \mathrm{V} \div 100 \; \Omega = 0.120 \; \mathrm{A} \
- \( I_2 = 12 \; \mathrm{V} \div 100 \; \Omega = 0.120 \; \mathrm{A} \)
- \( I_3 = 12 \; \mathrm{V} \div 300 \; \Omega = 0.0400 \; \mathrm{A} \)
- \( I_{\text{total}} = 0.120 + 0.120 + 0.0400 = 0.280 \; \mathrm{A} \)
- \( R = 12 \; \mathrm{V} \div 0.280 \; \mathrm{A} = 42.86 \; \Omega \)
並列の合成抵抗は、最小の抵抗より必ず小さくなります。この例では最小が 100 Ω で、合成抵抗は 42.86 Ω です。枝を増やすと電流の通り道が増えるので、全体としての抵抗は下がります。
\( V = 5 \; \mathrm{V} \)、\( R_1 = 1.0 \; \mathrm{k}\Omega \)、\( R_2 = 2.2 \; \mathrm{k}\Omega \)、\( R_3 = 4.7 \; \mathrm{k}\Omega \) でも確認します。\( 1 \; \mathrm{k}\Omega = 1,000 \; \Omega \) なので、\( R_1 = 1,000 \; \Omega \)、\( R_2 = 2,200 \; \Omega \)、\( R_3 = 4,700 \; \Omega \) です。
- \( I_1 = 5 \; \mathrm{V} \div 1,000 \; \Omega = 0.00500 \; \mathrm{A} = 5.00 \; \mathrm{mA} \)
- \( I_2 = 5 \; \mathrm{V} \div 2,200 \; \Omega = 0.002273 \; \mathrm{A} = 2.273 \; \mathrm{mA} \)
- \( I_3 = 5 \; \mathrm{V} \div 4,700 \; \Omega = 0.001064 \; \mathrm{A} = 1.064 \; \mathrm{mA} \)
分流の比は、\( I_1 : I_2 : I_3 = 5.00 : 2.273 : 1.064 \) です。\( I_1 \) を 1 とすると、約 \( 1 : 0.455 : 0.213 \) です。抵抗が大きいほど、電流は反比例して小さくなります。
12 V 電源で、\( R_1 = 100 \; \Omega \)、\( R_2 = 220 \; \Omega \) を固定し、\( R_3 \) を変えると次のようになります。
| \(R_3\) | 合成抵抗 \(R\) | \(I_1\) | \(I_2\) | \(I_3\) | 総電流 |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 Ω | 40.74 Ω | 120.0 mA | 54.55 mA | 120.0 mA | 294.5 mA |
| 220 Ω | 52.38 Ω | 120.0 mA | 54.55 mA | 54.55 mA | 229.1 mA |
| 470 Ω | 59.98 Ω | 120.0 mA | 54.55 mA | 25.53 mA | 200.1 mA |
| 1,000 Ω | 64.33 Ω | 120.0 mA | 54.55 mA | 12.00 mA | 186.5 mA |
同じ電源電圧では、固定した枝の電流は変わりません。変えた枝の電流だけが変わり、その分だけ総電流と合成抵抗が変わります。だから設計では、枝を追加したときに電源電流がどこまで増えるかも合わせて確認します。
直並列回路はどこから合成するか
直並列回路では、まず一目でまとまる直列部分または並列部分を探します。まとまった部分に名前を付けると、途中で回路の形を見失いにくくなります。
例として、\( R_1 = 10 \; \Omega \) と \( R_2 = 20 \; \Omega \) を直列にした枝と、\( R_3 = 30 \; \Omega \) の枝を並列にします。まず直列ブロックを \( R_{12} \) とします。
$$R_{12} = R_1 + R_2 = 10 + 20 = 30 \; \Omega$$
次に、\( R_{12} \) と \( R_3 \) を並列合成します。
$$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_{12}} + \dfrac{1}{R_3}= \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{30}= 0.06667 \; \mathrm{S}$$
$$R = \dfrac{1}{0.06667 \; \mathrm{S}} = 15.0 \; \Omega$$
この回路に \( V = 18 \; \mathrm{V} \) を加えると、全体電流は次の通りです。
$$I_{\text{total}} = \dfrac{18 \; \mathrm{V}}{15.0 \; \Omega} = 1.20 \; \mathrm{A}$$
並列なので、直列ブロックにも \( R_3 \) にも 18 V がかかります。
- 直列ブロック電流: \( I_{12} = 18 \; \mathrm{V} \div 30 \; \Omega = 0.600 \; \mathrm{A} \)
- \( R_3 \) の電流: \( I_3 = 18 \; \mathrm{V} \div 30 \; \Omega = 0.600 \; \mathrm{A} \)
- \( R_1 \) の電圧: \( V_1 = 0.600 \; \mathrm{A} \times 10 \; \Omega = 6.00 \; \mathrm{V} \)
- \( R_2 \) の電圧: \( V_2 = 0.600 \; \mathrm{A} \times 20 \; \Omega = 12.0 \; \mathrm{V} \)
- \( R_3 \) の電圧: \( V_3 = 18.0 \; \mathrm{V} \)
\( V_1 + V_2 = 6.00 + 12.0 = 18.0 \; \mathrm{V} \) です。直列ブロック内では分圧し、並列枝どうしでは分流します。
抵抗値を kΩ にしても同じです。\( R_1 = 4.7 \; \mathrm{k}\Omega \)、\( R_2 = 4.7 \; \mathrm{k}\Omega \) の直列ブロックと、\( R_3 = 10 \; \mathrm{k}\Omega \) の並列回路に 24 V を加えます。
- \( R_{12} = 4.7 + 4.7 = 9.4 \; \mathrm{k}\Omega = 9,400 \; \Omega \)
- \( R_3 = 10 \; \mathrm{k}\Omega = 10,000 \; \Omega \)
- \( R = 9,400 \times 10,000 \div (9,400 + 10,000) = 4,845 \; \Omega \)
- \( I_{12} = 24 \; \mathrm{V} \div 9,400 \; \Omega = 0.002553 \; \mathrm{A} = 2.553 \; \mathrm{mA} \)
- \( I_3 = 24 \; \mathrm{V} \div 10,000 \; \Omega = 0.002400 \; \mathrm{A} = 2.400 \; \mathrm{mA} \)
- 総電流は \( 2.553 + 2.400 = 4.953 \; \mathrm{mA} \) です。
先にまとまる部分を合成すると、回路全体を 1 つの抵抗として読めます。だから設計では、複雑な回路でも「合成 → 全体電流 → ブロックへ戻す → 個別素子へ戻す」の順で追います。
直列ブロック \( R_s \) と並列枝 \( R_3 \) の値を振ると、合成抵抗は次のように変わります。
| \(R_s\) | \(R_3 = 20 \; \Omega\) | \(R_3 = 30 \; \Omega\) | \(R_3 = 60 \; \Omega\) |
|---|---|---|---|
| 30 Ω | 12.0 Ω | 15.0 Ω | 20.0 Ω |
| 60 Ω | 15.0 Ω | 20.0 Ω | 30.0 Ω |
並列なので、合成抵抗は常に小さい方の枝抵抗より小さくなります。片方の枝だけを大きくしても、もう一方の枝が低抵抗なら、全体の抵抗は大きく増えません。
数値例で分圧と分流を同時に確認する
合成抵抗を出すだけでは、図面上の各素子が安全な条件に入っているか判断できません。抵抗にかかる電圧と流れる電流まで戻して確認します。
直列では、電圧の和が電源電圧に戻ります。
$$V_1 + V_2 + V_3 = V$$
並列では、枝電流の和が総電流に戻ります。
$$I_1 + I_2 + I_3 = I_{\text{total}}$$
同じ 24 V 電源で、\( R_1 = 100 \; \Omega \) を固定し、\( R_2 \) を変えた 2 抵抗回路を比べます。
| \(R_2\) | 直列の総電流 | 直列での \(V_2\) | 並列での \(I_2\) | 並列の総電流 |
|---|---|---|---|---|
| 50 Ω | 160 mA | 8.00 V | 480 mA | 720 mA |
| 100 Ω | 120 mA | 12.0 V | 240 mA | 480 mA |
| 200 Ω | 80.0 mA | 16.0 V | 120 mA | 360 mA |
| 300 Ω | 60.0 mA | 18.0 V | 80.0 mA | 320 mA |
直列では \( R_2 \) を大きくすると、総電流は下がりますが、\( R_2 \) の電圧分担は上がります。並列では各枝に 24 V がかかるため、\( R_2 \) を大きくすると \( R_2 \) の枝電流だけが下がります。
この違いを混同すると、電圧降下と電流容量の見積もりが同時にずれます。だから図面を読むときは、先に一定なのが電流か、電圧かを切り分けます。
図面を読むときの注意とつまずきやすい点
直列・並列は、回路図の見た目ではなく接続関係で判断します。線が曲がっていても、同じ 2 点間につながる部品は並列です。部品が横に並んで描かれていても、電流の通り道が 1 本なら直列です。
単位のそろえ方も、計算前に必ず確認します。抵抗値は Ω、kΩ、MΩ が混在しやすいからです。単位の基本は 電気の単位と符号 で整理した通り、式に入れる前にそろえます。
$$1 \; \mathrm{k}\Omega = 1,000 \; \Omega$$
$$1 \; \mathrm{M}\Omega = 10^6 \; \Omega = 1,000,000 \; \Omega$$
| 表記 | Ω への換算 | 備考 |
|---|---|---|
| 4.7 Ω | 4.7 Ω | そのまま使う |
| 4.7 kΩ | 4,700 Ω | 1,000 倍する |
| 10 kΩ | 10,000 Ω | k を落とさない |
| 0.22 MΩ | 220,000 Ω | 1,000,000 倍する |
| 1.0 MΩ | 1,000,000 Ω | 高抵抗側の桁に注意する |
たとえば、\( R_1 = 4.7 \; \mathrm{k}\Omega \)、\( R_2 = 10 \; \mathrm{k}\Omega \) を直列にして 24 V を加える場合、先に Ω へ直します。
- \( R_1 = 4,700 \; \Omega \)
- \( R_2 = 10,000 \; \Omega \)
- \( R = 4,700 + 10,000 = 14,700 \; \Omega \)
- \( I = 24 \; \mathrm{V} \div 14,700 \; \Omega = 0.001633 \; \mathrm{A} = 1.633 \; \mathrm{mA} \)
- \( V_1 = 0.001633 \; \mathrm{A} \times 4,700 \; \Omega = 7.673 \; \mathrm{V} \)
- \( V_2 = 0.001633 \; \mathrm{A} \times 10,000 \; \Omega = 16.33 \; \mathrm{V} \)
kΩ を Ω と間違えると、電流が 1,000 倍ずれます。だから設計では、式に入れる前に単位をそろえ、計算後に mA や V として現実的な大きさかを確認します。
実際の回路では、配線抵抗や接触抵抗があるため、理想計算と実測値は少しずれます。たとえば 24 V 電源に 120 Ω の負荷をつなぐと、配線抵抗を無視した電流は次の通りです。
$$I = 24 \; \mathrm{V} \div 120 \; \Omega = 0.200 \; \mathrm{A}$$
往復の配線抵抗が \( 0.4 \; \Omega \) あると、全体は \( 120 + 0.4 = 120.4 \; \Omega \) です。
- \( I = 24 \; \mathrm{V} \div 120.4 \; \Omega = 0.1993 \; \mathrm{A} \)
- 負荷電圧は \( 0.1993 \; \mathrm{A} \times 120 \; \Omega = 23.92 \; \mathrm{V} \)
- 配線の電圧降下は \( 0.1993 \; \mathrm{A} \times 0.4 \; \Omega = 0.0797 \; \mathrm{V} \)
この例では差は小さいですが、大電流では配線抵抗の影響が大きくなります。理論値は理想抵抗での値、実測値は配線・接点・測定器を含む値として分けて扱います。
よくあるつまずきは、次の流れで起きます。
| 症状 | 原因 | 確かめ方 | 対策 |
|---|---|---|---|
| 合成抵抗が最小抵抗より大きい | 並列を直列として足した | 並列の結果が最小値より小さいか計算で確認する | 逆数の和で計算し直す |
| 電圧の合計が電源電圧に戻らない | 直列の戻し計算を誤った | \(V_1+V_2+V_3\) を足して確認する | 電流を 1 つに固定して再計算する |
| 枝電流の和が総電流に戻らない | 並列枝の電圧を変えて計算した | 各枝に同じ電圧を入れたか確認する | 枝電流を \(V/R\) で出し直す |
| 電流が 1,000 倍ずれる | kΩ と Ω を混在させた | 抵抗値をすべて Ω に直して確認する | 計算欄に単位を書いてから代入する |
直列では電流が一定、並列では電圧が一定です。この 2 つを先に決めると、合成抵抗、分圧、分流の計算は同じオームの法則に戻せます。
まとめ
- 直列は \( R = R_1 + R_2 + \cdots \) で合成し、同じ電流から各電圧降下を求めます。
- 並列は \( 1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots \) で合成し、同じ電圧から枝電流を求めます。
- 直並列回路は、合成できる部分に名前を付け、全体から個別へ戻します。
- kΩ、MΩ は Ω にそろえてから式に入れると、桁違いを防げます。
- 理論値と実測値は、配線抵抗、接触抵抗、測定器の影響を分けて見ます。
このステップの前後
- 前のステップ: オームの法則で読む抵抗回路｜電圧降下・電流制限・抵抗値の決め方
- 次のステップ: キルヒホッフの法則｜節点法と閉路法で複数ループ回路を解く（準備中）
- 全体の地図: 機械・油圧技術者が電気回路を計算して読むための基礎
